Définitions

Oscillation
Loi de Hooke

\(\triangleright\) Définition d'un oscillateur harmonique

Un oscillateur harmonique est un oscillateur pemettant de décrire tout système physique au voisinage d'une position d'équilibre.
Un oscillateur harmonique est un modèle qui néglige les forces dissipatives.

Formalisme mathématique

\(\triangleright\) Equation du mouvement d'un oscillateur harmonique

Pour l'oscillateur harmonique, les forces de frottements sont négligées.
On a donc:
$${{\ddot x+\omega_0^2x=0}}$$
$$x(t)=C.\cos(\omega_0t+\phi)$$
Avec:

• \(\omega_0= {{\sqrt\frac{k}{m} }}\): la pulsation propre
• \(k\): la constante de raideur
• \(m\): la masse du mobile en mouvement
• \(C\), \(\phi\): constantes (Amplitude, phase)

:
Retrouver l'équation du mouvement d'un oscillateur harmonique

1
A \(t\gt 0\), le mobile est en \(M\):
D'après la Loi de Hooke:
$$\vec T=-k\vec {OM}$$
On sait aussi: \(\vec {OM}= x(t)\vec i\)
2
On applique Deuxième loi de Newton - Principe fondamental de la dynamique:
$$m\frac{d^2\vec{OM} }{dt^2}=\vec T=-k\vec{OM}$$
On projett selon \(\vec i\):
$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$
3
On pose: \(\omega_0=\sqrt\frac{k}{m}\)
Finalement on retrouve:
$$\ddot x+\omega_0^2x=0$$

Limites

Le modèle de l'oscillateur harmonique suppose que le système étudié est conervatif.
Or, un système réel n'est jamais conservatif mais dissipatif.
Cela se traduit par un armortissement de l'amplitude d'oscillation.
On définit alors les Oscillateurs amortis

Exemples

On peut modéliser plusieurs systèmes par le modèle de l'oscillateur harmonique lorque que l'on néglige certains aspects:

• Objet flottant
• Pendule
• Circuit LC
• Bouteille d'Helmotz